已知椭圆 $C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，点 $M$ 与 $C$ 的焦点不重合，若 $M$ 关于 $C$ 的焦点的对称点分别为 $A$，$B$，线段 $MN$ 的中点在 $C$ 上，则 $|AN| + |BN| =\underline{\hspace{2em}}$.

将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 $C$.

(1) 写出 $C$ 的参数方程； (2) 设直线 $l: 2x + y - 2 = 0$ 与 $C$ 的交点为 $P_1$，$P_2$，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 $P_1P_2$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.