某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle BCD$ 所在平面互相垂直，且 $AB = BC = BD = 2$，$\angle ABC = \angle DBC = 120^{\circ}$，$E$，$F$，$G$ 分别为 $AC$，$DC$，$AD$ 的中点. 附：锥体的体积公式 $V = \frac{1}{3} Sh$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高.

(1) 求证：$EF \perp$ 平面 $BCG$； (2) 求三棱锥 $D - BCG$ 的体积.