已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义，对任意实数 $a > 0$ 和任意实数 $x$，都有 $f(ax) = af(x)$.

(1) 证明 $f(0) = 0$； (2) 证明 其中 $k$ 和 $h$ 均为常数； (3) 当第（2）问中的 $k > 0$ 时，设 $g(x) = \frac{1}{f(x)} + f(x)$（$x > 0$），讨论 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 内的单调性并求极值.