某城市有甲、乙、丙 $3$ 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是$0.4$，$0.5$，$0.6$，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 $\xi$ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(1) 求 $\xi$ 的分布及数学期望； (2) 记“函数 $f(x)=x^{2}-3\xi x+1$ 在区间 $[2,+\infty)$ 上单调递增”为事件 $A$，求事件 $A$ 的概率.

\begin{solution} 设 $K$ 表示游览的景点数，则 $\xi=\lvert K-(3-K)\rvert=\lvert2K-3\rvert$. 由三个景点的游览相互独立，得

当 $K=1$ 或 $K=2$ 时，$\xi=1$；当 $K=0$ 或 $K=3$ 时，$\xi=3$. 所以 $\xi$ 的分布为 $P(\xi=1)=0.38+0.38=0.76$，$P(\xi=3)=0.12+0.12=0.24$，其余取值的概率均为 $0$. 从而

对固定的 $\xi$，有 $f'(x)=2x-3\xi$. 函数在 $[2,+\infty)$ 上单调递增，当且仅当对任意 $x\geqslant2$ 都有 $f'(x)\geqslant0$，这等价于 $f'(2)=4-3\xi\geqslant0$，即 $\xi\leqslant\dfrac{4}{3}$. 由于 $\xi$ 只能取 $1$ 或 $3$，事件 $A$ 等价于 $\{\xi=1\}$，故 $P(A)=0.76$. \end{solution}