已知数列 $\left\{\log_2(a_n - 1)\right\}$（$n \in \mathbf{N}^*$）为等差数列，且 $a_1 = 3$，$a_2 = 5$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{a_2 - a_1} + \frac{1}{a_3 - a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{n+1} - a_n}\right) =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 令 $u_n=\log_2(a_n-1)$. 由题意，$u_n$ 是等差数列，且 $u_1=\log_2 2=1$，$u_2=\log_2 4=2$，所以公差为 $1$，从而 $u_n=n$，即 $a_n=2^n+1$. 因此 $a_{k+1}-a_k=2^k$，故

故选 C. \end{solution}