如图 1，已知 $ABCD$ 是上、下底边长分别为 $2$ 和 $6$，高为 $\sqrt{3}$ 的等腰梯形，将它沿对称轴 $OO_{1}$ 折成直二面角，如图 2.

(1) 证明：$AC \perp BO_{1}$； (2) 求二面角 $O - AC - O_{1}$ 的大小.

\begin{solution} 建立空间直角坐标系，使折痕 $OO_{1}$ 为 $z$ 轴，取

$O=(0,0,0)$，$O_{1}=(0,0,\sqrt{3})$，$A=(0,3,0)$，$B=(3,0,0)$，$C=(1,0,\sqrt{3})$.

这里利用了 $OA=OB=3$，$O_{1}D=O_{1}C=1$，以及折成直二面角后两个梯形半边所在平面互相垂直.

\begin{enumerate} \item 由坐标可得 $\overrightarrow{AC}=(1,-3,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BO_{1}}=(-3,0,\sqrt{3})$，所以

因此 $AC\perp BO_{1}$.

\item 设二面角 $O-AC-O_{1}$ 的平面角为 $\theta$. 平面 $OAC$ 和平面 $O_{1}AC$ 的一个法向量分别为

$\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{AC}=(-3\sqrt{3},0,3)$，$\boldsymbol{n}_2=\overrightarrow{AO_{1}}\times\overrightarrow{AC}=(0,\sqrt{3},3)$.

于是 $\lvert\boldsymbol{n}_1\rvert=6$，$\lvert\boldsymbol{n}_2\rvert=2\sqrt{3}$，且 $\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=9$. 因而

所以二面角 $O-AC-O_{1}$ 的大小为 $\theta=\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \end{enumerate} \end{solution}