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16三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡A(sin⁡B+cos⁡B)−sin⁡C=0\sin A (\sin B + \cos B) - \sin C = 0，sin⁡B+cos⁡2C=0\sin B + \cos 2C = 0，求角 AA、BB、CC 的大小.
\begin{solution} 因为 A+B+C=πA+B+C=\pi，所以 sin⁡C=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin C=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B. 代入第一个等式，得
sin⁡Asin⁡B+sin⁡Acos⁡B−sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B=0\sin A\sin B+\sin A\cos B-\sin A\cos B-\cos A\sin B=0
即 sin⁡B(sin⁡A−cos⁡A)=0\sin B(\sin A-\cos A)=0. 三角形内角满足 0<B<π0<B<\pi，故 sin⁡B>0\sin B>0，从而 sin⁡A=cos⁡A\sin A=\cos A. 又 0<A<π0<A<\pi，所以 A=π4A=\dfrac{\pi}{4}，进而 C=3π4−BC=\dfrac{3\pi}{4}-B.
将此关系代入第二个等式，得 sin⁡B+cos⁡(3π2−2B)=0\sin B+\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-2B\right)=0，即 sin⁡B−sin⁡2B=0\sin B-\sin 2B=0. 因此 sin⁡B(1−2cos⁡B)=0\sin B(1-2\cos B)=0. 由于 sin⁡B>0\sin B>0，故 cos⁡B=12\cos B=\dfrac{1}{2}，从而 B=π3B=\dfrac{\pi}{3}，C=π−A−B=5π12C=\pi-A-B=\dfrac{5\pi}{12}. \end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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