如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，$O$ 为底面中心，$A_{1}O \perp$ 平面 $ABCD$，$AB = AA_{1} = \sqrt{2}$.

(1) 证明：平面 $A_{1}BD$ $\parallel$ 平面 $CD_{1}B_{1}$. (2) 求三棱柱 $ABD - A_{1}B_{1}D_{1}$ 的体积.