椭圆 $\Gamma : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$）的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，焦距为 $2c$，若直线 $y = \sqrt{3}(x + c)$ 与椭圆 $\Gamma$ 的一个交点 $M$ 满足 $\angle MF_1F_2 = 2 \angle MF_2F_1$，则该椭圆的离心率等于______.