不等式 $|x + 3| - |x - 1| \leqslant a^{2} - 3a$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 分段计算左端： 因此其最大值为 $4$. 要使不等式对任意实数 $x$ 恒成立，充要条件是 即 所以 $a\leqslant-1$ 或 $a\geqslant4$，选 A. \end{solution}

锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同. 从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 4 个汤圆从 15 个中任取，样本数为 $\mathrm C_{15}^{4}$. 每种馅至少取到 1 个时，取法只能是数量分配 $(2,1,1)$. 因而有利取法数为 所求概率为 故选 C. \end{solution}

设 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$，向量 $\boldsymbol{m} = (\sqrt{3} \sin A, \sin B)$，$\boldsymbol{n} = (\cos B, \sqrt{3} \cos A)$，若 $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1 + \cos (A + B)$，则 $C =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由向量内积得 设 $\theta=A+B=\pi-C$，则 $0<\theta<\pi$，且题设化为 用半角公式，因 $0<\theta<\pi$，有 $\sin(\frac{\theta}{2})>0$ 且 $\cos(\frac{\theta}{2})>0$，从而 故 $\tan(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 于是 $\theta=\frac{\pi}{3}$，所以 故选 C. \end{solution}

将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有______ 种.（用数字作答）

\begin{answer} 36 \end{answer}

\begin{solution} 4 名大学生分到 3 个有标号乡镇且每个乡镇至少 1 人，人数分配只能是 $(2,1,1)$. 先选出人数为 2 的乡镇，有 3 种；再从 4 人中选 2 人去该乡镇，有 $\mathrm C_{4}^{2}$ 种；余下 2 人分别去另外两个乡镇，有 $2!$ 种. 因此方案数为 \end{solution}

设 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = \frac{2}{a_n + 1}$，$b_n = \left|\frac{a_n + 2}{a_n - 1}\right|$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，则数列 $\{b_n\}$ 的通项 $b_n =$______.

\begin{answer} $2^{n+1}$ \end{answer}

\begin{solution} 由递推式 $a_{n+1}-1=\frac{1-a_n}{a_n+1}=-\frac{a_n-1}{a_n+1}$，$a_{n+1}+2=\frac{2(a_n+2)}{a_n+1}$. 因此 又 $b_1=|\frac{(2+2)}{(2-1)}|=4=2^2$，所以 递推所得各项为正，且若某项等于 1，则由递推反推会得到 $a_1=1$，与 $a_1=2$ 矛盾，故上述分式始终有意义. \end{solution}

设函数 $f(x) = \sin \left(\frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{6}\right) - 2\cos^{2} \frac{\pi}{8}x + 1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 若函数 $y = g(x)$ 与 $y = f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，求当 $x \in \left[0, \frac{4}{3}\right]$ 时 $y = g(x)$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $2\cos^{2}u=1+\cos2u$，有 正弦函数的自变量系数为 $\frac{\pi}{4}$，故最小正周期为 \item 关于直线 $x=1$ 对称时，点 $(x,g(x))$ 对应于 $(2-x,f(2-x))$，所以 当 $0\leqslant x\leqslant\frac{4}{3}$ 时， 余弦函数在该区间的最大值为 $\frac{1}{2}$，故 $g(x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt3}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}

某单位为绿化环境，移栽了甲，乙两种大树各 2 株. 设甲，乙两种大树移栽的成活率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$，且各株大树是否成活互不影响. 求移栽的 4 株大树中：

(1) 两种大树各成活 1 株的概率； (2) 成活的株数 $\xi$ 的分布列与期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设甲树成活数为 $X$，乙树成活数为 $Y$. 则 $P(X=0)=\frac19$，$P(X=1)=\frac49$，$P(X=2)=\frac49$ $P(Y=0)=\frac14$，$P(Y=1)=\frac12$，$P(Y=2)=\frac14$. 两类树的成活相互独立，因此 \item $\xi=X+Y$. 由 $X$ 与 $Y$ 相互独立，逐项计算得 再有 以及 对 $\xi=3$，$4$ 分别有 所以分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $\xi$&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$\ \hline $P$&$\frac1{36}$&$\frac16$&$\frac{13}{36}$&$\frac13$&$\frac19$ \end{tabular} \end{center} 于是 \end{enumerate} \end{solution}

设函数 $f(x) = ax^{2} + bx + k$（$k > 0$）在 $x = 0$ 处取得极值，且曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于直线 $x + 2y + 1 = 0$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 若函数 $g(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{f(x)}$，讨论 $g(x)$ 的单调性.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数在 $x=0$ 处取得极值，故 $f'(0)=b=0$. 直线 $x+2y+1=0$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$，其垂线斜率为 $2$. 因而 结合 $b=0$ 得 $a=1$. \item 此时 $f(x)=x^2+k>0$，且 分母和 $\mathrm{e}^x$ 始终为正，只需考察 $(x-1)^2+k-1$.

当 $k\geqslant1$ 时，$(x-1)^2+k-1\geqslant0$，故 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增；当 $0<k<1$ 时，令 $x_1=1-\sqrt{1-k}$，$x_2=1+\sqrt{1-k}$， 则导数在 $(-\infty,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty)$ 为正，在 $(x_1,x_2)$ 为负. 因此 $g$ 在前两个区间上分别递增，在中间区间上递减. \end{enumerate} \end{solution}