从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的所有非空子集中，等可能地取出一个.

(1) 记性质 $r$：集合中的所有元素之和为 $10$，求所取出的非空子集满足性质 $r$ 的概率； (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E_{\xi}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 非空子集共有$2^5-1=31$个，且每个被取出的可能性相同.元素和为$10$的非空子集为 $\{1,4,5\}$、$\{2,3,5\}$、$\{1,2,3,4\}$，共$3$个，所以$P(r)=\dfrac{3}{31}$.

\item 记所取子集的元素个数为$\xi$.当$\xi=k$时，从$5$个元素中选出$k$个，共有$\mathrm C_5^k$种，故 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $\xi$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$\ \hline $P$&$\dfrac{5}{31}$&$\dfrac{10}{31}$&$\dfrac{10}{31}$&$\dfrac{5}{31}$&$\dfrac{1}{31}$ \end{tabular} \end{center} 并且 \end{enumerate} \end{solution}