如图，某市拟在长为 $8 \mathrm{~km}$ 的道路 $OP$ 的一侧修建一条运动赛道. 赛道的前一部分为曲线段 $OSM$，该曲线段为函数 $y = A \sin \omega x$（$A > 0$，$\omega > 0$），$x \in [0,4]$ 的图象，且图象的最高点为 $S(3, 2\sqrt{3})$；赛道的后一部分为折线段 $MNP$. 为保证参赛运动员的安全，限定 $\angle MNP = 120^{\circ}$.

(1) 求 $A$，$\omega$ 的值和 $M$，$P$ 两点间的距离； (2) 应如何设计，才能使折线段赛道 $MNP$ 最长？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为图象的最高点为$S(3,2\sqrt{3})$，所以振幅$A=2\sqrt{3}$，且$\sin(3\omega)=1$.写成$3\omega=\frac{\pi}{2}+2k\pi$.由$\omega>0$知$k\geqslant0$.若$k\geqslant1$，则前一个最高点的横坐标为$3-\frac{2\pi}{\omega}\in(0,3)$，与最高点只有$S$不符，故$k=0$，从而$\omega=\frac{\pi}{6}$.

曲线在$x=4$处的终点为 而$P=(8,0)$，所以

\item 设$MN=u$，$NP=v$，其中$u$，$v>0$.在三角形$MNP$中，$\angle MNP=120^{\circ}$，由余弦定理 因此由$u^2+v^2\geqslant2uv$得$25\geqslant3uv$，即$uv\leqslant\frac{25}{3}$.于是 等号当且仅当$u=v$，即$MN=NP$.此时三角形为等腰三角形，底角 $\angle PMN=\angle MPN=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$.所以应设计为$MN=NP$，等价于$\angle PMN=30^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}