已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$，$a_{n + 1} = \frac{a_{n} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}a_{n} + 1}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），则 $a_{20} =$（ ）

已知数列 $\{\log_2(a_n - 1)\}$（$n \in \mathbf{N}^*$）为等差数列，且 $a_1 = 3$，$a_3 = 9$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 证明： $\frac{1}{a_{2}-a_{1}}+\frac{1}{a_{3}-a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n+1}-a_{n}}<1$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $d_n=\log_2(a_n-1)$. 由题意，$\{d_n\}$ 是等差数列. 因为 $d_1=\log_2(3-1)=1$，$d_3=\log_2(9-1)=3$，所以公差为 $\frac{d_3-d_1}{2}=1$，从而 $d_n=1+(n-1)=n$. 因此 $a_n-1=2^{d_n}=2^n$，即

\item 由上式，对 $k\in\mathbf{N}^*$ 有 $a_{k+1}-a_k=2^{k+1}+1-(2^k+1)=2^k$. 所以 故不等式成立. \end{enumerate} \end{solution}