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17三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡A(sin⁡B+cos⁡B)−sin⁡C=0\sin A(\sin B + \cos B) - \sin C = 0，sin⁡B+cos⁡2C=0\sin B + \cos 2C = 0，求角 AA，BB，CC 的大小.
\begin{solution} 因为 AA，BB，CC 是三角形的内角，所以 0<A0<A，BB，C<πC<\pi，且 A+B+C=πA+B+C=\pi. 由三角形内角和，
sin⁡C=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin C=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B
代入第一个已知等式，得
sin⁡Asin⁡B+sin⁡Acos⁡B=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A\sin B+\sin A\cos B =\sin A\cos B+\cos A\sin B
即 sin⁡B(sin⁡A−cos⁡A)=0\sin B(\sin A-\cos A)=0. 由于 0<B<π0<B<\pi，sin⁡B>0\sin B>0，所以 sin⁡A=cos⁡A\sin A=\cos A，从而 A=π4A=\frac{\pi}{4}.
于是 B+C=3π4B+C=\frac{3\pi}{4}. 由第二个已知等式，
sin⁡(3π4−C)=−cos⁡2C=sin⁡(2C−π2)\sin\left(\frac{3\pi}{4}-C\right)=-\cos 2C =\sin\left(2C-\frac{\pi}{2}\right)
因此存在 k∈Zk\in\mathbf{Z}，使得
{3π4−C=2C−π2+2kπ,3π4−C=π−(2C−π2)+2kπ.\begin{cases} \dfrac{3\pi}{4}-C=2C-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ \dfrac{3\pi}{4}-C=\pi-\left(2C-\dfrac{\pi}{2}\right)+2k\pi. \end{cases}
第二种情形给出 C=3π4+2kπC=\frac{3\pi}{4}+2k\pi，不满足 0<C<3π40<C<\frac{3\pi}{4}. 第一种情形给出 C=5π12−2kπ3C=\frac{5\pi}{12}-\frac{2k\pi}{3}，结合 0<C<3π40<C<\frac{3\pi}{4} 只有 k=0k=0，故 C=5π12C=\frac{5\pi}{12}. 于是
B=3π4−5π12=π3B=\frac{3\pi}{4}-\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{3}
所以 A=45∘A=45^{\circ}，B=60∘B=60^{\circ}，C=75∘C=75^{\circ}. \end{solution}

2005 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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