已知 $f(x)=ax+\frac1{x+1}$（$a\in\mathbf{R}$）.

(1) 当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)+1<f(x+1)$ 的解集； (2) 若 $x\in[1,2]$ 时，$f(x)$ 有零点，求 $a$ 的范围.