在 $\triangle ABC$ 中，$A$，$B$ 为锐角，角 $A$，$B$，$C$ 所对应的边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

(1) 求 $A + B$ 的值； (2) 若 $a - b = \sqrt{2} - 1$，求 $a$，$b$，$c$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因 $A$、$B$ 为锐角，得 $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{2\sqrt5}{5}$，$\cos B=\sqrt{1-\sin^2B}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. 于是 又 $0<A+B<\pi$，所以 $A+B=\frac{\pi}{4}$.

\item 由正弦定理，$a:b=\sin A:\sin B=\sqrt2:1$，故可设 $a=\sqrt2 b$. 由 $a-b=\sqrt2-1$，得 所以 $b=1$，$a=\sqrt2$. 由第（1）问， $C=\pi-(A+B)=\frac{3\pi}{4}$. 再次由正弦定理， 故 $c=\sqrt5$. \end{enumerate} \end{solution}