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09立体几何初步★★★☆☆
如图，在半径为 3 的球面上有 AA，BB，CC 三点，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，BA=BCBA = BC，球心 OO 到平面 ABCABC 的距离是 322\frac{3\sqrt{2}}{2}，则 BB，CC 两点的球面距离是（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
π\pi
C.
4π3\frac{4\pi}{3}
D.
2π2\pi

2009 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
某企业生产甲，乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 AA 原料 3 吨3\text{ 吨}，BB 原料 2 吨2\text{ 吨}；生产每吨乙产品要用 AA 原料 1 吨1\text{ 吨}，BB 原料 3 吨3\text{ 吨}. 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元5\text{ 万元}，每吨乙产品可获得利润 3 万元3\text{ 万元}. 该企业在一个生产周期内消耗 AA 原料不超过 13 吨13\text{ 吨}，BB 原料不超过 18 吨18\text{ 吨}，那么该企业可获得最大利润是（ ）
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
20 万元20\text{ 万元}
C.
25 万元25\text{ 万元}
D.
27 万元27\text{ 万元}

2009 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在实数集 R\mathbf{R} 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 xx 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x)x f(x + 1) = (1 + x)f(x)，则 f(f(52))f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right) 的值是（ ）
A.
0
B.
12\frac{1}{2}
C.
1
D.
52\frac{5}{2}

2009 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB 为锐角，角 AA，BB，CC 所对应的边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡A=55\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}，sin⁡B=1010\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}.
(1) 求 A+BA + B 的值； (2) 若 a−b=2−1a - b = \sqrt{2} - 1，求 aa，bb，cc 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因 AA、BB 为锐角，得 cos⁡A=1−sin⁡2A=255\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{2\sqrt5}{5}，cos⁡B=1−sin⁡2B=31010\cos B=\sqrt{1-\sin^2B}=\frac{3\sqrt{10}}{10}. 于是
cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=255⋅31010−55⋅1010=22\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B =\frac{2\sqrt5}{5}\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10} -\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{10} =\frac{\sqrt2}{2}
又 0<A+B<π0<A+B<\pi，所以 A+B=π4A+B=\frac{\pi}{4}.
\item 由正弦定理，a:b=sin⁡A:sin⁡B=2:1a:b=\sin A:\sin B=\sqrt2:1，故可设 a=2ba=\sqrt2 b. 由 a−b=2−1a-b=\sqrt2-1，得
(2−1)b=2−1(\sqrt2-1)b=\sqrt2-1
所以 b=1b=1，a=2a=\sqrt2. 由第（1）问， C=π−(A+B)=3π4C=\pi-(A+B)=\frac{3\pi}{4}. 再次由正弦定理，
cb=sin⁡Csin⁡B=221010=5\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\sqrt5
故 c=5c=\sqrt5. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）. 某旅游公司组织了一个有 3636 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 34\frac{3}{4} 是省外游客，其余是省内游客. 在省外游客中有 13\frac{1}{3} 持金卡，在省内游客中有 23\frac{2}{3} 持银卡.
(1) 在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； (2) 在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 省外游客有 36×34=2736\times\frac34=27 人，其中持金卡的有 27×13=927\times\frac13=9 人. 省内游客有 99 人，其中持银卡的有 9×23=69\times\frac23=6 人. 因此全团持银卡的有 66 人，不持银卡的有 3030 人. 随机采访两人时，恰有一人持银卡的概率为
C61C301C362=180630=27\frac{\mathrm C_6^1\mathrm C_{30}^1}{\mathrm C_{36}^2} =\frac{180}{630}=\frac27
\item 全团持金卡 99 人，持银卡 66 人，既不持金卡也不持银卡的有 36−9−6=2136-9-6=21 人. 两人中金卡、银卡人数相等时，只有“一人持金卡且一人持银卡”或“两人均不持这两种卡”两种情形，故所求概率为
9×6+C212C362=54+210630=44105\frac{9\times6+\mathrm C_{21}^2}{\mathrm C_{36}^2} =\frac{54+210}{630}=\frac{44}{105}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx−2f(x) = x^3 + 2bx^2 + cx - 2 的图象在与 xx 轴交点处的切线方程是 y=5x−10y = 5x - 10.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设函数 g(x)=f(x)+13mxg(x) = f(x) + \frac{1}{3}mx，若 g(x)g(x) 的极值存在，求实数 mm 的取值范围以及函数 g(x)g(x) 取得极值时对应的自变量 xx 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 切线 y=5x−10y=5x-10 与 xx 轴交于 (2,0)(2,0)，所以函数图象与 xx 轴的交点为 (2,0)(2,0)，即 f(2)=0f(2)=0. 切线斜率为 55，故 f′(2)=5f'(2)=5. 由 f(2)=8+8b+2c−2=0f(2)=8+8b+2c-2=0，f′(2)=12+8b+c=5f'(2)=12+8b+c=5 得到 4b+c=−34b+c=-3，8b+c=−78b+c=-7. 解得 b=−1b=-1，c=1c=1，所以
f(x)=x3−2x2+x−2f(x)=x^3-2x^2+x-2
\item
g′(x)=3x2−4x+1+m3g'(x)=3x^2-4x+1+\frac{m}{3}
要使三次函数 gg 有极大值和极小值，导函数必须有两个不相等的实根，即
Δ=(−4)2−4⋅3(1+m3)=4(1−m)>0\Delta=(-4)^2-4\cdot3\left(1+\frac{m}{3}\right)=4(1-m)>0
故 m<1m<1. 此时导函数的两个零点为 x=2−1−m3x=\frac{2-\sqrt{1-m}}{3}，x=2+1−m3x=\frac{2+\sqrt{1-m}}{3}. 因二次导函数首项系数为正，较小的根处导函数由正变负，取得极大值；较大的根处导函数由负变正，取得极小值. 因此前者对应极大值，后者对应极小值. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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