已知点 $A\left(0, \frac{2}{n}\right)$，$B\left(0, -\frac{2}{n}\right)$，$C\left(4 + \frac{2}{n}, 0\right)$，其中 $n$ 为正整数，设 $S_{n}$ 表示 $\triangle ABC$ 外接圆的面积，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_{n} =$______.

给出问题：$F_{1}$，$F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的焦点，点 $P$ 在双曲线上. 若点 $P$ 到焦点 $F_{1}$ 的距离等于 9，求点 $P$ 到焦点 $F_{2}$ 的距离. 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由 $\left|PF_{1}\right| - \left|PF_{2}\right| = 8$，即 $\left|9 - \left|PF_{2}\right|\right| = 8$，得 $\left|PF_{2}\right| = 1$ 或 17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内______.