已知双曲线 $C$ 的离心率为 $2$，焦点为 $F_{1}$，$F_{2}$，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $|F_{1}A|=2|F_{2}A|$，则 $\cos \angle AF_{2}F_{1}=$（ ）

\begin{solution} 双曲线的离心率为 $2$，所以 $c=2a$，且 $F_{1}F_{2}=2c=4a$. 由双曲线定义以及 $|F_{1}A|=2|F_{2}A|$，得 $|F_{1}A|-|F_{2}A|=2a$，$|F_{2}A|=2a$，$|F_{1}A|=4a$. 在三角形 $AF_{2}F_{1}$ 中，利用余弦定理， 故选 A. \end{solution}

直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线. 若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $\left(1,3\right)$，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角的正切值等于______.

\begin{solution} 设两切线的交点为 $P=(1,3)$，圆心为 $O=(0,0)$，切点为 $T$. 则 $OP=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，圆半径为 $OT=\sqrt2$，且 $PT\perp OT$. 设切线与 $PO$ 的夹角为 $\theta$，则在直角三角形 $OPT$ 中 两条切线关于 $PO$ 对称，故两切线的锐角夹角为 $2\theta$. 因此 \end{solution}