若函数 $f(x)=\cos 2x+a\sin x$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上是减函数，则 $a$ 的取值范围是______.

\begin{solution} 求导得 在 $\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上，$\cos x>0$，且 $\sin x>\dfrac12$. 若 $a\leqslant2$，则 $a-4\sin x<0$，所以函数在该区间上递减.

若 $a>2$，由 $\sin x$ 在该区间左端附近趋近于 $\dfrac12$，可取区间内的 $x$ 使 $4\sin x<a$，此时 $f'(x)>0$，不可能在整个区间上递减. 因此 $a$ 的取值范围为 $\left(-\infty,2\right]$. \end{solution}