正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 $4$，底面边长为 $2$，则该球的表面积为（ ）

\begin{solution} 由正四棱锥的对称性，球心 $O'$ 在高 $SO$ 所在直线上. 设底面中心为 $O$，顶点为 $S$，并设 $OO'=t$. 正方形底面边长为 $2$，所以底面顶点 $V$ 满足 $OV=\sqrt{2}$. 由球面经过 $V$ 和 $S$，有 $O'V^{2}=t^{2}+2$，$O'S^{2}=(4-t)^{2}$. 故 $t^{2}+2=(4-t)^{2}$，$t=\frac{7}{4}$. 球半径为 $R=4-t=\dfrac{9}{4}$，所以球的表面积为 故选 A. \end{solution}