用 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$ 组成没有重复数字的八位数，要求 $1$ 和 $2$ 相邻，$3$ 与 $4$ 相邻，$5$ 与 $6$ 相邻，而 $7$ 与 $8$ 不相邻，这样的八位数共有______个.（用数字作答）

\begin{answer} 576 \end{answer}

\begin{solution} 把相邻的 $1,2$、$3,4$、$5,6$ 分别看作三个整体，每个整体内部都有 $2$ 种排列方式. 先不考虑 $7,8$ 相邻的限制，五个对象 $(12)$，$(34)$，$(56)$，$7$，$8$ 的排列数为 $5!$，故共有 $5!\cdot2^3$ 种.

其中 $7,8$ 相邻时，把 $7,8$ 再看作一个整体，该整体有 $2$ 种内部排列，四个对象的排列数为 $4!\cdot2^4$. 因而满足题意的八位数共有 $5!\cdot2^3-4!\cdot2^4=960-384=576$ 个. \end{solution}