函数 $y = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ 的反函数是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设原函数的函数值为 $y$，则 $\mathrm{e}^y=x+\sqrt{x^2+1}$. 由于 $(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=1$，有 $\mathrm{e}^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x$. 两式相减得 $2x=\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}$，即 $x=\dfrac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}2$. 交换 $x$，$y$，反函数为 $y=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2$，选 C. \end{solution}

若 $\log_{2a}\frac{1 + a^2}{1 + a} < 0$，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 对数有意义要求 $a>0$ 且 $2a\ne1$. 当 $a>\frac12$ 时，底数 $2a>1$，要使对数小于零，必须有 $0<\dfrac{1+a^2}{1+a}<1$. 因 $a>0$，前一个不等式自动成立；后一个不等式等价于 $a^2<a$，即 $0<a<1$. 因而得到 $\frac12<a<1$.

当 $0<a<\frac12$ 时，$0<2a<1$，对数小于零要求真数大于 $1$，即 $a^2>a$，这与 $0<a<\frac12$ 矛盾. 故取值范围为 $\left(\frac12,1\right)$，选 C. \end{solution}