在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\otimes$：$x \otimes y = x(1 - y)$. 若不等式 $(x - a) \otimes (x + a) < 1$ 对任意实数 $x$ 成立，则（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由运算定义， $(x-a)\otimes(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-x^2+x+a^2-a$. 因此题设不等式对任意实数 $x$ 成立，等价于 $-x^2+x+a^2-a<1$ 对任意 $x\in\mathbf{R}$. 左侧关于 $x$ 的最大值在 $x=\frac12$ 处取得，最大值为 $\frac14+a^2-a$. 所以 故选 C. \end{solution}

已知 $y = f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的单调函数，实数 $x_{1} \neq x_{2}$，$\lambda \neq -1$， $\alpha = \frac{x_{1} + \lambda x_{2}}{1 + \lambda}$，$\beta = \frac{x_{2} + \lambda x_{1}}{1 + \lambda}$. 若 $|f(x_{1}) - f(x_{2})| < |f(\alpha) - f(\beta)|$，则（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 不妨设 $x_1<x_2$. 若 $\lambda\geqslant0$，则 有 $\alpha=\frac1{1+\lambda}x_1+\frac\lambda{1+\lambda}x_2$，$\beta=\frac\lambda{1+\lambda}x_1+\frac1{1+\lambda}x_2$， 所以 $\alpha$，$\beta\in[x_1,x_2]$. 因 $f$ 单调，区间 $[\alpha,\beta]$ 上的函数值差的绝对值不超过区间 $[x_1,x_2]$ 上端点函数值差，即 $|f(\alpha)-f(\beta)|\leqslant|f(x_1)-f(x_2)|$， 与题设矛盾. 因此必须有 $\lambda<0$，选 A. \end{solution}