若 $\log_{2a}\frac{1 + a^2}{1 + a} < 0$，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 对数有意义要求 $a>0$ 且 $2a\ne1$. 当 $a>\frac12$ 时，底数 $2a>1$，要使对数小于零，必须有 $0<\dfrac{1+a^2}{1+a}<1$. 因 $a>0$，前一个不等式自动成立；后一个不等式等价于 $a^2<a$，即 $0<a<1$. 因而得到 $\frac12<a<1$.

当 $0<a<\frac12$ 时，$0<2a<1$，对数小于零要求真数大于 $1$，即 $a^2>a$，这与 $0<a<\frac12$ 矛盾. 故取值范围为 $\left(\frac12,1\right)$，选 C. \end{solution}

在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\otimes$：$x \otimes y = x(1 - y)$. 若不等式 $(x - a) \otimes (x + a) < 1$ 对任意实数 $x$ 成立，则（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由运算定义， $(x-a)\otimes(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-x^2+x+a^2-a$. 因此题设不等式对任意实数 $x$ 成立，等价于 $-x^2+x+a^2-a<1$ 对任意 $x\in\mathbf{R}$. 左侧关于 $x$ 的最大值在 $x=\frac12$ 处取得，最大值为 $\frac14+a^2-a$. 所以 故选 C. \end{solution}