某工厂生产甲，乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 $A$，$B$ 两个等级. 对每种产品，两道工序的加工结果都为 $A$ 级时，产品为一等品，其余均为二等品.

(1) 已知甲，乙两种产品每一道工序的加工结果为 $A$ 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲，乙产品为一等品的概率 $P_{\text{甲}}$，$P_{\text{乙}}$.

表一 (2) 已知一件产品的利润如表二所示，用 $\xi$，$\eta$ 分别表示一件甲，乙产品的利润，在（1）的条件下，求 $\xi$，$\eta$ 的分布列及 $E(\xi)$，$E(\eta)$.

表二 (3) 已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示. 该工厂有工人 $40$ 名，可用资金 $60$ 万元. 设 $x$，$y$ 分别表示生产甲，乙产品的数量，在（2）的条件下，$x$，$y$ 为何值时，$z = xE(\xi) + yE(\eta)$ 最大？最大值是多少？

表三

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 两道工序相互独立，且一等品要求两道工序均为 $A$ 级，因此 $P_{\text{甲}}=0.8\times0.85=0.68$，$P_{\text{乙}}=0.75\times0.8=0.6$.

\item 甲产品一等品的利润为 $5$ 万元，二等品的利润为 $2.5$ 万元，所以 $P(\xi=5)=0.68$，$P(\xi=2.5)=1-0.68=0.32$，$E(\xi)=5\times0.68+2.5\times0.32=4.2$. 同理，乙产品的分布为 $P(\eta=2.5)=0.6$，$P(\eta=1.5)=0.4$，且 $E(\eta)=2.5\times0.6+1.5\times0.4=2.1$.

\item 由表三，生产数量 $x$，$y$ 应满足 $8x+2y\leqslant40$，$8x+10y\leqslant60$，$x\geqslant0$，$y\geqslant0$. 目标函数为 $z=xE(\xi)+yE(\eta)=4.2x+2.1y$. 因为 $x$，$y$ 表示产品的数量，所以 $x$，$y$ 为非负整数. 由约束条件得 $0\leqslant x\leqslant5$. 对每个可能的 $x$，由 $y\leqslant20-4x$，$y\leqslant6-\frac45x$ 可取的最大整数 $y$ 依次为 $6$，$5$，$4$，$3$，$2$，$0$. 由于 $z$ 关于 $y$ 的系数 $2.1>0$，固定 $x$ 时应取上述最大值. 又 $z=4.2x+2.1y=2.1(2x+y)$， 所以 $2x+y$ 的最大值依次为 $6$，$7$，$8$，$9$，$10$，$10$. 因而当 $(x,y)=(4,2)$ 或 $(5,0)$ 时，$z$ 取得最大值，最大值为 $z_{\max}=2.1\times10=21$. \end{enumerate} \end{solution}