在平面直角坐标系 $xOy$ 中，经过点 $(0, \sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$.

(1) 求 $k$ 的取值范围； (2) 设椭圆与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴的交点分别为 $A$，$B$，是否存在常数 $k$，使得向量 $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.