过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线相交于 $M$，$N$ 两点，以 $MN$ 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.

\begin{answer} $2$ \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$，左焦点为 $(-c,0)$. 直线 $x=-c$ 与双曲线相交时，代入方程得 $\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$\Longrightarrow$，$y^2=\frac{b^4}{a^2}$. 所以 $M$，$N$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^2}{a}$ 和 $-\frac{b^2}{a}$，以 $MN$ 为直径的圆的圆心为 $(-c,0)$，半径为 $\frac{b^2}{a}$.

双曲线右顶点为 $(a,0)$，由题意 因 $c+a>0$，约去 $c+a$ 得 $c-a=a$，即 $c=2a$. 因而离心率 \end{solution}