已知 $k < -4$，则函数 $y = \cos 2x + k(\cos x - 1)$ 的最小值是（$\quad$）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 令 $t=\cos x$，则 $-1\leqslant t\leqslant1$，且 记右侧为 $h(t)$，则 $h'(t)=4t+k\leqslant4+k<0$，（$-1\leqslant t\leqslant1$）. 所以 $h(t)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，最小值在 $t=1$ 处取得. 因而 故选 A. \end{solution}

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称，且 $f(x) = x^{2} + 2x$.

(1) 求函数 $g(x)$ 的解析式； (2) 解不等式 $g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称意味着点 $(x,f(x))$ 关于原点的对称点 $(-x,-f(x))$ 在函数 $g$ 的图象上. 因而

\item 将 $f$，$g$ 的解析式代入不等式，得 当 $x\geqslant1$ 时，$|x-1|=x-1$，不等式化为 其判别式为 $1-8<0$，故此时无解.

当 $x<1$ 时，$|x-1|=1-x$，不等式化为 所以 $-1\leqslant x\leqslant\frac12$. 综合两种情况，解集为 $\left[-1,\frac12\right]$. \end{enumerate} \end{solution}