设集合 $A=\{(x,y)\mid x,y,1-x-y\text{ 是三角形的三边长}\}$，则 $A$ 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（$\quad$）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 令三边长分别为 $x$，$y$，$1-x-y$. 它们能构成三角形的充要条件是三者均为正数，且每一边都小于另外两边之和. 因此 $x>0$，$y>0$，$1-x-y>0$，$x<1-x$，$y<1-y$，$1-x-y<x+y$. 化简得 $0<x<\frac{1}{2}$，$0<y<\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}<x+y<1$. 其中 $x<\frac{1}{2}$ 和 $y<\frac{1}{2}$ 已推出 $x+y<1$，所以区域是正方形 $0<x<\frac{1}{2}$，$0<y<\frac{1}{2}$ 中直线 $x+y=\frac{1}{2}$ 上方且不含边界的部分，对应图 A. \end{solution}