过点 $P(1, \sqrt{3})$ 作圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$，则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} =$______.

过双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 $C$ 于点 $P$. 若点 $P$ 的横坐标为 $2a$，则 $C$ 的离心率为______.