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12三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=4a = 4，b=5b = 5，c=6c = 6，则 sin⁡2Asin⁡C=\frac{\sin 2A}{\sin C} =______.
\begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 由正弦定理，sin⁡Asin⁡C=ac=46=23\dfrac{\sin A}{\sin C}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}. 由余弦定理，
cos⁡A=b2+c2−a22bc=52+62−422×5×6=34\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\times5\times6}=\frac{3}{4}
所以 sin⁡2Asin⁡C=2cos⁡Asin⁡Asin⁡C=2×34×23=1\dfrac{\sin2A}{\sin C}=2\cos A\dfrac{\sin A}{\sin C}=2\times\dfrac34\times\dfrac23=1. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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