过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右顶点 $A$ 作斜率为 $-1$ 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B$，$C$. 若 $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，则双曲线的离心率是（ ）