某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期为 $\xi$ 的分布列为

商场经销一件该商品，采用 $1$ 期付款，其利润为 $200$ 元；分 $2$ 期或 $3$ 期付款，其利润为 $250$ 元；分 $4$ 期或 $5$ 期付款，其利润为 $300$ 元. $\eta$ 表示经销一件该商品的利润.

(1) 求事件 $A$：“购买该商品的 $3$ 位顾客中，至少有 $1$ 位采用 $1$ 期付款”的概率 $P(A)$； (2) 求 $\eta$ 的分布列及期望 $E(\eta)$.