如图，把椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的长轴 $AB$ 分成 $8$ 等分，过每个分点作 $x$ 轴的垂线交椭圆的上半部分于 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_7$ 七个点，$F$ 是椭圆的一个焦点，

则 $|P_1F| + |P_2F| + \cdots + |P_7F| =\underline{\hspace{2em}}$.