(1) 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，$a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$，$n \in \mathbf{N}^*$. 令 $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$，证明：$\{b_{n}\}$ 是等比数列； (2) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.