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05计数原理与组合数学★★★☆☆
从长度分别为 11，22，33，44，55 的五条线段中，任取三条的不同取法共有 nn 种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 mm，则 mn\frac{m}{n} 等于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 任取三条线段的取法数为 n=C53=10n=\mathrm C_{5}^{3}=10. 将所有取法按边长从小到大列出：(1,2,3)(1,2,3)、(1,2,4)(1,2,4)、(1,2,5)(1,2,5)、(1,3,4)(1,3,4)、(1,3,5)(1,3,5)、(1,4,5)(1,4,5)、(2,3,4)(2,3,4)、(2,3,5)(2,3,5)、(2,4,5)(2,4,5)、(3,4,5)(3,4,5).
三角形的判定条件是两条较短边之和大于最长边. 因而 (1,2,3)(1,2,3)、(1,3,4)(1,3,4)、(1,4,5)(1,4,5)、(2,3,5)(2,3,5) 的两短边之和等于最长边，不能组成三角形；(1,2,4)(1,2,4)、(1,2,5)(1,2,5)、(1,3,5)(1,3,5) 的两短边之和小于最长边，也不能组成三角形. 只有 (2,3,4)(2,3,4)、(2,4,5)(2,4,5)、(3,4,5)(3,4,5) 能组成三角形.
对于边长依次为 a⩽b⩽ca\leqslant b\leqslant c 的三角形，由余弦定理，最大角为钝角、直角或锐角，分别对应 c2>a2+b2c^{2}>a^{2}+b^{2}、c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2} 或 c2<a2+b2c^{2}<a^{2}+b^{2}. 对 (2,3,4)(2,3,4)，有 42=16>13=22+324^{2}=16>13=2^{2}+3^{2}；对 (2,4,5)(2,4,5)，有 52=25>20=22+425^{2}=25>20=2^{2}+4^{2}，这两组是钝角三角形. 对 (3,4,5)(3,4,5)，有 52=32+425^{2}=3^{2}+4^{2}，它是直角三角形. 因而 m=2m=2，所以 mn=210=15\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{10}=\dfrac15，选 B. \end{solution}
A.
110\frac{1}{10}
B.
15\frac{1}{5}
C.
310\frac{3}{10}
D.
25\frac{2}{5}

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06解析几何★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP 是侧面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 内一动点，若 PP 到直线 BCBC 与直线 C1D1C_{1}D_{1} 的距离相等，则动点 PP 的轨迹所在的曲线是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设正方体棱长为 l>0l>0，建立直角坐标系，使 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(l,0,0)B=(l,0,0)，C=(l,l,0)C=(l,l,0)，C1=(l,l,l)C_{1}=(l,l,l)，且侧面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 为平面 x=lx=l. 设 P=(l,y,z)P=(l,y,z)，其中 0⩽y0\leqslant y，z⩽lz\leqslant l.
点 PP 到直线 BCBC 的距离为 zz. 直线 C1D1C_{1}D_{1} 的点可写为 (s,l,l)(s,l,l)，所以
dist⁡(P,C1D1)2=(l−y)2+(l−z)2\operatorname{dist}(P,C_{1}D_{1})^{2}=(l-y)^{2}+(l-z)^{2}
其中最近点对应于 s=ls=l，即 C1C_{1}. 因此题设条件等价于
z=(l−y)2+(l−z)2z=\sqrt{(l-y)^{2}+(l-z)^{2}}
这正是平面 x=lx=l 内的点到焦点 C1C_{1} 的距离等于到准线 BCBC 的距离的轨迹，即抛物线在该正方形侧面内的部分. 故选 D. \end{solution}
A.
直线
B.
圆
C.
双曲线
D.
抛物线

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13数列★★★☆☆
在函数 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^{2}+bx+c 中，若 aa，bb，cc 成等比数列且 f(0)=−4f(0)=-4，则 f(x)f(x) 有______值（填“大”或“小”），且该值为______. \begin{answer} 大，−3-3 \end{answer}
\begin{solution} 设等比数列 aa，bb，cc 的公比为 qq. 因为 c=f(0)=−4≠0c=f(0)=-4\neq0，所以 a≠0a\neq0、q≠0q\neq0，且 c=aq2c=aq^{2}，从而 a=−4q2<0a=-\frac{4}{q^{2}}<0. 等比数列的相邻三项满足 b2=acb^{2}=ac，故
f(x)=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24af(x)=ax^{2}+bx+c =a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}
由于 a<0a<0，函数有最大值，且 c−b24a=c−ac4a=34c=−3c-\dfrac{b^{2}}{4a}=c-\dfrac{ac}{4a}=\dfrac34c=-3. 所以填“大”，该值为 −3-3. \end{solution}

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡A+cos⁡A=22\sin A+\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}，AC=2AC=2，AB=3AB=3，求 tan⁡A\tan A 的值和 △ABC\triangle ABC 的面积.

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=2AB=2，AA1=2AA_{1}=2，由顶点 BB 沿棱柱侧面经过棱 AA1AA_{1} 到顶点 C1C_{1} 的最短路线与 AA1AA_{1} 的交点为 MM，求：
(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2) 该最短路线的长与 A1MAM\frac{A_{1}M}{AM} 的值； (3) 平面 C1MBC_{1}MB 与平面 ABCABC 所成二面角（锐角）的大小.

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17解析几何★★★☆☆
如图，抛物线关于 xx 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)P(1,2)，A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}) 均在抛物线上.
(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程； (2) 当 PAPA 与 PBPB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2y_{1}+y_{2} 的值及直线 ABAB 的斜率.

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18数列★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 是定义在 [0,1][0,1] 上的增函数，满足 f(x)=2f(x2)f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right) 且 f(1)=1f(1)=1，在每个区间 (12i,12i−1]\left(\frac{1}{2^{i}},\frac{1}{2^{i-1}}\right]（i=1i=1，22，⋯\cdots）上，y=f(x)y=f(x) 的图象都是斜率为同一常数 kk 的直线的一部分.
(1) 求 f(0)f(0) 及 f(12)f\left(\frac{1}{2}\right)，f(14)f\left(\frac{1}{4}\right) 的值，并归纳出 f(12i)f\left(\frac{1}{2^{i}}\right)（i=1i=1，22，⋯\cdots）的表达式； (2) 设直线 x=12ix=\frac{1}{2^{i}}，x=12i−1x=\frac{1}{2^{i-1}}，xx 轴及 y=f(x)y=f(x) 的图象围成的矩形的面积为 aia_{i}（i=1i=1，22，⋯\cdots），求 a1a_{1}，a2a_{2} 及 lim⁡n→∞(a1+a2+⋯+an)\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}) 的值.

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19不等式★★★☆☆
某段城铁线路上依次有 AA，BB，CC 三站，AB=15 kmAB=15\mathrm{~km}，BC=3 kmBC=3\mathrm{~km}，在列车运行时刻表上，规定列车 8 时整从 AA 站发车，8 时 07 分到达 BB 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 CC 站，在实际运行中，假设列车从 AA 站正点发车，在 BB 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 v km/hv\mathrm{~km}/\mathrm{h} 匀速行驶，列车从 AA 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
(1) 分别写出列车在 BB，CC 两站的运行误差； (2) 若要求列车在 BB，CC 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 vv 的取值范围.

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