如图，在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$P$ 是侧面 $BB_{1}C_{1}C$ 内一动点，若 $P$ 到直线 $BC$ 与直线 $C_{1}D_{1}$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹所在的曲线是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设正方体棱长为 $l>0$，建立直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$B=(l,0,0)$，$C=(l,l,0)$，$C_{1}=(l,l,l)$，且侧面 $BB_{1}C_{1}C$ 为平面 $x=l$. 设 $P=(l,y,z)$，其中 $0\leqslant y$，$z\leqslant l$.

点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $z$. 直线 $C_{1}D_{1}$ 的点可写为 $(s,l,l)$，所以 其中最近点对应于 $s=l$，即 $C_{1}$. 因此题设条件等价于 这正是平面 $x=l$ 内的点到焦点 $C_{1}$ 的距离等于到准线 $BC$ 的距离的轨迹，即抛物线在该正方形侧面内的部分. 故选 D. \end{solution}

如图，在正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB=2$，$AA_{1}=2$，由顶点 $B$ 沿棱柱侧面经过棱 $AA_{1}$ 到顶点 $C_{1}$ 的最短路线与 $AA_{1}$ 的交点为 $M$，求：

(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2) 该最短路线的长与 $\frac{A_{1}M}{AM}$ 的值； (3) 平面 $C_{1}MB$ 与平面 $ABC$ 所成二面角（锐角）的大小.