已知函数 $f(x)=\log_2\left(2^x+1\right)$.

(1) 求证：函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调递增； (2) 记 $f^{-1}(x)$ 为函数 $f(x)$ 的反函数. 若关于 $x$ 的方程 $f^{-1}(x)=m+f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围.