设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，则“$x \sin^2 x < 1$”是“$x \sin x < 1$”的（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 因为 $0<x<\frac{\pi}{2}$，所以 $0<\sin x<1$，从而 若 $x\sin x<1$，则必有 $x\sin^2x<1$，所以“$x\sin x<1$”是“$x\sin^2x<1$”的充分条件，即前一个条件是后一个条件的必要条件.

再设 $x_0$ 是方程 $x\sin x=1$ 在 $(0,\frac\pi2)$ 内的根. 由于 $x\sin x$ 连续，且在 $x=1$ 时小于 $1$，在 $x=\frac\pi2$ 时大于 $1$，这样的 $x_0$ 存在. 此时 但 $x_0\sin x_0<1$ 不成立. 因此“$x\sin^2x<1$”不是“$x\sin x<1$”的充分条件，故选 B. \end{solution}

若实数 $x$，$y$ 满足不等式组 且 $x + y$ 的最大值为$9$，则实数 $m =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 只需检验四个选项. 若 $m=-2$ 或 $m=-1$，取 $(x,y)=(t,2t)$. 当 $t$ 足够大时，前两个不等式成立，且第三个左端分别为 $5t+1$ 或 $3t+1$，也成立，而 $x+y=3t$ 无上界，均不符合题意.

当 $m=1$ 时，第二个不等式给出 $y\geqslant2x-3$，第三个不等式给出 $y\leqslant x+1$，所以 $x\leqslant4$. 于是 点 $(4,5)$ 同时满足三个不等式，且 $x+y=9$，所以最大值确为 $9$.

当 $m=2$ 时，第二、三个不等式分别给出 $y\geqslant2x-3$，$y\leqslant\frac{x+1}{2}$. 因此 $x\leqslant\frac73$，从而 且 $(x,y)=(\frac73,\frac53)$ 可取到最大值 $4$，也不符合题意. 故 $m=1$，选 C. \end{solution}

若某几何体的三视图（单位：$\mathrm{cm}$）如图所示，则此几何体的体积是______$\mathrm{cm}^3$.

\begin{answer} 144 \end{answer}

\begin{solution} 由三视图可知，几何体由一个底面为边长 $8\mathrm{~cm}$、上底面为边长 $4\mathrm{~cm}$、高为 $3\mathrm{~cm}$ 的正四棱台，以及一个底面为 $4\mathrm{~cm}\times4\mathrm{~cm}$、高为 $2\mathrm{~cm}$ 的长方体组成.

正四棱台的体积为 长方体的体积为 所以几何体的体积为 $V_1+V_2=144\mathrm{~cm}^3$，填 $144$. \end{solution}

设 $a_1$，$d$ 为实数. 首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_5S_6 + 15 = 0$，则 $d$ 的取值范围是______. \begin{answer} $d \leqslant -2\sqrt{2}$ 或 $d \geqslant 2\sqrt{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 由等差数列前 $n$ 项和公式， $S_5=5(a_1+2d)$，$S_6=3(2a_1+5d)$. 代入题设得 即 把它看作关于 $a_1$ 的一元二次方程，为使 $a_1$ 有实数解，判别式应满足 所以 $|d|\geqslant2\sqrt2$，即 \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\cos 2C = -\frac{1}{4}$.

(1) 求 $\sin C$ 的值； (2) 当 $a = 2$，$2 \sin A = \sin C$ 时，求 $b$ 及 $c$ 的长.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $0<C<\pi$，所以 $\sin C>0$. 由二倍角公式 得 $\sin^2C=\frac58$，$\sin C=\frac{\sqrt{10}}4$.

\item 由正弦定理及 $a=2$，$2\sin A=\sin C$，得 所以 $c=4$. 又由 $\cos2C=-\frac14$， $\cos^2C=\frac{1+\cos2C}{2}=\frac38$，$\cos C=\pm\frac{\sqrt6}{4}$. 对三角形使用余弦定理， 即 当 $\cos C=\frac{\sqrt6}{4}$ 时，$b^2-\sqrt6b-12=0$，取正根得 $b=2\sqrt6$；当 $\cos C=-\frac{\sqrt6}{4}$ 时，$b^2+\sqrt6b-12=0$，取正根得 $b=\sqrt6$. 两组边长均满足三角形不等式.

因此 \end{enumerate} \end{solution}

如图，一个小球从 $M$ 处投入，通过管道自上而下落到 $A$ 或 $B$ 或 $C$. 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 $A$，$B$，$C$，则分别设为 1，2，3 等奖.

(1) 已知获得 1，2，3 等奖的折扣率分别为 $50\%$，$70\%$，$90\%$. 记随机变量 $\xi$ 为获得 $k$（$k = 1$，$2$，$3$）等奖的折扣率，求随机变量 $\xi$ 的分布列及期望 $E(\xi)$. (2) 若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量 $\eta$ 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 $P\{\eta = 2\}$.

\begin{solution} 逐一沿图中管道追踪，每次遇到叉口都有左右两种等可能选择. 将每条完整路径按其终点归类，树状图的计数为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc|c} 终点 & $A$ & $B$ & $C$ & 合计\ \hline 路径数 & $3$ & $6$ & $7$ & $16$ \end{tabular} \end{center} 因此共有 $16$ 个等可能结果，其中到达 $A$，$B$，$C$ 的结果数分别为 $3$，$6$，$7$. 因此 $P(A)=\frac3{16}$，$P(B)=\frac6{16}=\frac38$，$P(C)=\frac7{16}$.

\begin{enumerate} \item 随机变量 $\xi$ 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} $\xi$&$50\%$&$70\%$&$90\%$\ \hline $P$&$\dfrac3{16}$&$\dfrac38$&$\dfrac7{16}$ \end{tabular} \end{center} 所以

\item 每人获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 三人的投球相互独立，故 $\eta\sim B(3,\frac9{16})$，从而 \end{enumerate} \end{solution}