如图，一个小球从 $M$ 处投入，通过管道自上而下落到 $A$ 或 $B$ 或 $C$. 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 $A$，$B$，$C$，则分别设为 1，2，3 等奖.

(1) 已知获得 1，2，3 等奖的折扣率分别为 $50\%$，$70\%$，$90\%$. 记随机变量 $\xi$ 为获得 $k$（$k = 1$，$2$，$3$）等奖的折扣率，求随机变量 $\xi$ 的分布列及期望 $E(\xi)$. (2) 若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量 $\eta$ 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 $P\{\eta = 2\}$.

\begin{solution} 逐一沿图中管道追踪，每次遇到叉口都有左右两种等可能选择. 将每条完整路径按其终点归类，树状图的计数为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc|c} 终点 & $A$ & $B$ & $C$ & 合计\ \hline 路径数 & $3$ & $6$ & $7$ & $16$ \end{tabular} \end{center} 因此共有 $16$ 个等可能结果，其中到达 $A$，$B$，$C$ 的结果数分别为 $3$，$6$，$7$. 因此 $P(A)=\frac3{16}$，$P(B)=\frac6{16}=\frac38$，$P(C)=\frac7{16}$.

\begin{enumerate} \item 随机变量 $\xi$ 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} $\xi$&$50\%$&$70\%$&$90\%$\ \hline $P$&$\dfrac3{16}$&$\dfrac38$&$\dfrac7{16}$ \end{tabular} \end{center} 所以

\item 每人获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 三人的投球相互独立，故 $\eta\sim B(3,\frac9{16})$，从而 \end{enumerate} \end{solution}