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14
解析几何
★★★☆☆
过抛物线
y
2
=
2
x
y^{2}=2x
y
2
=
2
x
的焦点
F
F
F
作直线
l
l
l
交抛物线于
A
A
A
，
B
B
B
两点，若
∣
A
B
∣
=
25
12
|AB|=\frac{25}{12}
∣
A
B
∣
=
12
25
，
∣
A
F
∣
<
∣
B
F
∣
|AF|<|BF|
∣
A
F
∣
<
∣
B
F
∣
，则
∣
A
F
∣
=
|AF|=
∣
A
F
∣
=
______.
\begin{answer}
5
6
\frac{5}{6}
6
5
\end{answer}
\begin{solution} 抛物线
y
2
=
2
x
y^{2}=2x
y
2
=
2
x
的焦点为
F
(
1
2
,
0
)
F\left(\frac12,0\right)
F
(
2
1
,
0
)
. 由于竖直弦
x
=
1
2
x=\frac12
x
=
2
1
的长度为
2
2
2
，不等于题设的
25
12
\frac{25}{12}
12
25
，故可设直线
l
l
l
为
y
=
k
(
x
−
1
2
)
y=k\left(x-\frac12\right)
y
=
k
(
x
−
2
1
)
，
k
≠
0
k\ne0
k
=
0
与抛物线联立，得
k
2
(
x
−
1
2
)
2
=
2
x
k^{2}\left(x-\frac12\right)^{2}=2x
k
2
(
x
−
2
1
)
2
=
2
x
即
k
2
x
2
−
(
k
2
+
2
)
x
+
k
2
4
=
0
k^{2}x^{2}-(k^{2}+2)x+\frac{k^{2}}4=0
k
2
x
2
−
(
k
2
+
2
)
x
+
4
k
2
=
0
设交点横坐标为
x
1
x_{1}
x
1
，
x
2
x_{2}
x
2
，则
∣
x
1
−
x
2
∣
=
(
k
2
+
2
)
2
−
k
4
k
2
=
2
k
2
+
1
k
2
|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{(k^{2}+2)^{2}-k^{4}}}{k^{2}} =\frac{2\sqrt{k^{2}+1}}{k^{2}}
∣
x
1
−
x
2
∣
=
k
2
(
k
2
+
2
)
2
−
k
4
=
k
2
2
k
2
+
1
因为两点在斜率为
k
k
k
的直线上，所以
∣
A
B
∣
=
∣
x
1
−
x
2
∣
1
+
k
2
=
2
(
k
2
+
1
)
k
2
=
25
12
|AB|=|x_{1}-x_{2}|\sqrt{1+k^{2}} =\frac{2(k^{2}+1)}{k^{2}}=\frac{25}{12}
∣
A
B
∣
=
∣
x
1
−
x
2
∣
1
+
k
2
=
k
2
2
(
k
2
+
1
)
=
12
25
从而
k
2
=
24
k^{2}=24
k
2
=
24
. 代回交点方程，得
24
x
2
−
26
x
+
6
=
0
24x^{2}-26x+6=0
24
x
2
−
26
x
+
6
=
0
，
(
3
x
−
1
)
(
4
x
−
3
)
=
0
(3x-1)(4x-3)=0
(
3
x
−
1
)
(
4
x
−
3
)
=
0
， 所以两个交点的横坐标为
1
3
\frac13
3
1
和
3
4
\frac34
4
3
. 由直线距离公式，
A
F
=
∣
1
3
−
1
2
∣
1
+
k
2
=
5
6
AF=\left|\frac13-\frac12\right|\sqrt{1+k^{2}}=\frac56
A
F
=
3
1
−
2
1
1
+
k
2
=
6
5
，
B
F
=
∣
3
4
−
1
2
∣
1
+
k
2
=
5
4
BF=\left|\frac34-\frac12\right|\sqrt{1+k^{2}}=\frac54
B
F
=
4
3
−
2
1
1
+
k
2
=
4
5
由
∣
A
F
∣
<
∣
B
F
∣
|AF|<|BF|
∣
A
F
∣
<
∣
B
F
∣
，故
∣
A
F
∣
=
5
6
|AF|=\frac56
∣
A
F
∣
=
6
5
. \end{solution}
2012 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题
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