已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且以 2 为周期，则 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数是“$f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数”的（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设命题 $P$ 为“$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为增函数”，命题 $Q$ 为“$f(x)$ 在 $[3,4]$ 上为减函数”. 由周期性和偶性，对 $x\in[3,4]$ 有 其中 $4-x\in[0,1]$.

若 $P$ 成立，取 $3\le x_{1}<x_{2}\le4$，则 $4-x_{1}>4-x_{2}$，于是 所以 $Q$ 成立. 反之，若 $Q$ 成立，取 $0\le u_{1}<u_{2}\le1$，则 $4-u_{2}<4-u_{1}$，由 $Q$ 得 所以 $P$ 成立. 因此 $P$ 是 $Q$ 的充要条件，故选 D. \end{solution}