设 $f(x)=4\cos\left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\omega x-\cos(2\omega x+\pi)$，其中 $\omega>0$.

(1) 求函数 $y = f(x)$ 的值域； (2) 若 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为增函数，求 $\omega$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $\theta=\omega x$. 利用积化和差公式， 又 $\cos(2\theta+\pi)=-\cos2\theta$，所以 由于 $-1\le\sin(2\omega x)\le1$，函数值域为

\item 由上式 因为 $\omega>0$，若 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{3\pi}{2},\frac\pi2\right]$ 上为增函数，就必须在该区间内有 $\cos(2\omega x)\ge0$. 当 $x$ 从 $-\frac{3\pi}{2}$ 变化到 $0$ 时，$2\omega x$ 从 $-3\pi\omega$ 变化到 $0$. 若 $\omega>\frac16$，则 $-3\pi\omega<-\frac\pi2$，这段自 $-3\pi\omega$ 到 $0$ 的区间必经过 $\cos t<0$ 的部分，函数不可能在原区间上为增函数. 因而 $\omega\le\frac16$.

当 $\omega\le\frac16$ 时，对 $x\in\left[-\frac{3\pi}{2},\frac\pi2\right]$，有 从而 $\cos(2\omega x)\ge0$，且函数在该区间上为增函数. 所以 $\omega$ 的最大值为 \end{enumerate} \end{solution}