已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且以 2 为周期，则 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数是“$f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数”的（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设命题 $P$ 为“$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为增函数”，命题 $Q$ 为“$f(x)$ 在 $[3,4]$ 上为减函数”. 由周期性和偶性，对 $x\in[3,4]$ 有 其中 $4-x\in[0,1]$.

若 $P$ 成立，取 $3\le x_{1}<x_{2}\le4$，则 $4-x_{1}>4-x_{2}$，于是 所以 $Q$ 成立. 反之，若 $Q$ 成立，取 $0\le u_{1}<u_{2}\le1$，则 $4-u_{2}<4-u_{1}$，由 $Q$ 得 所以 $P$ 成立. 因此 $P$ 是 $Q$ 的充要条件，故选 D. \end{solution}

设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导，其导函数为 $f'(x)$，且函数 $y = (1 - x)f'(x)$ 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 记 $g(x)=(1-x)f'(x)$. 由图可知 $g(x)$ 在 $-2$，$1$，$2$ 处为零，并且符号依次为 $g(x):$，$+$，$\ -$，$\ +$，$\ -$ 对应区间为 $(-\infty,-2)$，$(-2,1)$，$(1,2)$，$(2,+\infty)$. 当 $x<1$ 时 $1-x>0$，当 $x>1$ 时 $1-x<0$，所以 因此 $f(x)$ 在 $-2$ 左增右减，在 $2$ 左减右增，故有极大值 $f(-2)$ 和极小值 $f(2)$. 选项 D 正确. \end{solution}

过抛物线 $y^{2}=2x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A$，$B$ 两点，若 $|AB|=\frac{25}{12}$，$|AF|<|BF|$，则 $|AF|=$______.

\begin{answer} $\frac{5}{6}$ \end{answer}

\begin{solution} 抛物线 $y^{2}=2x$ 的焦点为 $F\left(\frac12,0\right)$. 由于竖直弦 $x=\frac12$ 的长度为 $2$，不等于题设的 $\frac{25}{12}$，故可设直线 $l$ 为 $y=k\left(x-\frac12\right)$，$k\ne0$ 与抛物线联立，得 即 设交点横坐标为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 因为两点在斜率为 $k$ 的直线上，所以 从而 $k^{2}=24$. 代回交点方程，得 $24x^{2}-26x+6=0$，$(3x-1)(4x-3)=0$， 所以两个交点的横坐标为 $\frac13$ 和 $\frac34$. 由直线距离公式， $AF=\left|\frac13-\frac12\right|\sqrt{1+k^{2}}=\frac56$，$BF=\left|\frac34-\frac12\right|\sqrt{1+k^{2}}=\frac54$ 由 $|AF|<|BF|$，故 $|AF|=\frac56$. \end{solution}

甲，乙两人轮流投篮. 每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次投篮互不影响.

(1) 求甲获胜的概率； (2) 求投篮结束时的甲投篮次数 $\xi$ 的分布列与期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记甲、乙在第 $k$ 次投篮投中的事件分别为 $A_{k}$，$B_{k}$. 甲在第 $k$ 次投中而获胜，要求前 $k-1$ 轮双方都未投中，然后甲第 $k$ 次投中. 因此 $P(A_{k}\text{使甲获胜}) =\left(\frac23\cdot\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac13 =\left(\frac13\right)^{k-1}\frac13$，$k=1$，$2$，$3$. 这些事件互斥，故甲获胜的概率为

\item $\xi$ 的可能取值为 $1$，$2$，$3$. 当第一轮结束时投篮结束的概率为 第一轮双方均未投中后，第二轮结束的概率为 若前两轮双方均未投中，则无论第三轮是否有人投中，投篮都在第三轮结束，所以 因此分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} $\xi$ & $1$ & $2$ & $3$ \ \hline $P$ & $\frac23$ & $\frac29$ & $\frac19$ \end{tabular} \end{center} 且 \end{enumerate} \end{solution}

设 $f(x)=4\cos\left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\omega x-\cos(2\omega x+\pi)$，其中 $\omega>0$.

(1) 求函数 $y = f(x)$ 的值域； (2) 若 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为增函数，求 $\omega$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $\theta=\omega x$. 利用积化和差公式， 又 $\cos(2\theta+\pi)=-\cos2\theta$，所以 由于 $-1\le\sin(2\omega x)\le1$，函数值域为

\item 由上式 因为 $\omega>0$，若 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{3\pi}{2},\frac\pi2\right]$ 上为增函数，就必须在该区间内有 $\cos(2\omega x)\ge0$. 当 $x$ 从 $-\frac{3\pi}{2}$ 变化到 $0$ 时，$2\omega x$ 从 $-3\pi\omega$ 变化到 $0$. 若 $\omega>\frac16$，则 $-3\pi\omega<-\frac\pi2$，这段自 $-3\pi\omega$ 到 $0$ 的区间必经过 $\cos t<0$ 的部分，函数不可能在原区间上为增函数. 因而 $\omega\le\frac16$.

当 $\omega\le\frac16$ 时，对 $x\in\left[-\frac{3\pi}{2},\frac\pi2\right]$，有 从而 $\cos(2\omega x)\ge0$，且函数在该区间上为增函数. 所以 $\omega$ 的最大值为 \end{enumerate} \end{solution}