已知点的序列 $A_n(x_n,0)$，$n\in\mathbf{N}$，其中 $x_1=0$，$x_2=a$（$a<0$），$A_3$ 是线段 $A_1A_2$ 的中点，$A_4$ 是线段 $A_2A_3$ 的中点，$\cdots$，$A_n$ 是线段 $A_{n-2}A_{n-1}$ 的中点，$\cdots$.

(1) 写出 $x_n$ 与 $x_{n-1}$，$x_{n-2}$ 之间的关系式（$n\geqslant3$）； (2) 设 $a_n=x_{n+1}-x_n$，计算 $a_1$，$a_2$，$a_3$，由此推测数列 $\{a_n\}$ 的通项公式，并加以证明； (3) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $A_n$ 是线段 $A_{n-2}A_{n-1}$ 的中点，所以 $x_n=\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}$，即 $2x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$（$n\geqslant3$）. \item 由 $x_1=0$，$x_2=a$，得 $x_3=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{a}{2}$，$x_4=\dfrac{x_2+x_3}{2}=\dfrac{3a}{4}$. 因而 $a_1=x_2-x_1=a$，$a_2=x_3-x_2=-\dfrac{a}{2}$，$a_3=x_4-x_3=\dfrac{a}{4}$. 对任意 $n\geqslant1$，由递推关系有 $a_{n+1}=x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{x_n+x_{n+1}}{2}-x_{n+1}=-\dfrac12a_n$. 所以 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$、公比为 $-\dfrac12$ 的等比数列，从而 $a_n=a\left(-\dfrac12\right)^{n-1}$. \item 由 $x_n=x_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k$，得 $x_n=a\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}\left(-\dfrac12\right)^k=\dfrac{2a}{3}\left(1-\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\right)$. 因为 $\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\to0$，所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\dfrac{2a}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}