在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$BC=1.5$，$\angle ABC=120^{\circ}$. 若使三角形绕直线 $BC$ 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）

在三棱锥 $S-ABC$ 中，如图，$\angle SAB=\angle SAC=\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=2$，$BC=\sqrt{13}$，$SB=\sqrt{29}$.

(1) 证明：$SC\perp BC$； (2) 求侧面 $SBC$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角大小； (3) 求异面直线 $SC$ 与 $AB$ 所成的角的大小（用反三角函数表示）.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $\angle SAB=\angle SAC=90^{\circ}$，且直线 $AB$，$AC$ 在平面 $ABC$ 内相交于 $A$，可知 $SA\perp\text{平面 }ABC$. 取直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$C=(2,0,0)$，$B=(2,\sqrt{13},0)$，则由 $SB=\sqrt{29}$ 得 $S=(0,0,h)$，且 $4+13+h^{2}=29$，所以 $h=2\sqrt{3}$. 因此 $\overrightarrow{SC}=(2,0,-2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BC}=(0,-\sqrt{13},0)$，从而 $\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，故 $SC\perp BC$. \item 由第（1）问，直线 $SC$ 垂直于棱 $BC$，而直线 $AC$ 也垂直于 $BC$，所以侧面 $SBC$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角等于 $\angle ACS$. 又 $\overrightarrow{CA}=(-2,0,0)$，$\overrightarrow{CS}=(-2,0,2\sqrt{3})$，故 $\lvert CA\rvert=2$，$\lvert CS\rvert=4$，且 $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CS}=4$. 因而 $\cos\angle ACS=\dfrac{4}{2\times4}=\dfrac12$，所以二面角大小为 $\dfrac{\pi}{3}$. \item 直线 $SC$ 与 $AB$ 的方向向量可分别取 $\overrightarrow{CS}=(-2,0,2\sqrt{3})$ 和 $\overrightarrow{AB}=(2,\sqrt{13},0)$. 两向量的数量积为 $-4$，长度分别为 $4$ 和 $\sqrt{17}$. 设异面直线所成的锐角为 $\varphi$，则 $\cos\varphi=\dfrac{\lvert-4\rvert}{4\sqrt{17}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}$，所以 $\varphi=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{17}}=\arctan4$. \end{enumerate} \end{solution}