如图，$\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta = l$，$A \in \alpha$，$B \in \beta$，$A$，$B$ 到 $l$ 的距离分别是 $a$ 和 $b$，$AB$ 与 $\alpha$，$\beta$ 所成的角分别是 $\theta$ 和 $\varphi$，$AB$ 在 $\alpha$，$\beta$ 内的射影分别是 $m$ 和 $n$，若 $a > b$，则（ ）

长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的各顶点都在球 $O$ 的球面上，其中 $AB:AD:AA_{1} = 1:1:\sqrt{2}$，$A$，$B$ 两点的球面距离记为 $m$，$A$，$D_{1}$ 两点的球面距离记为 $n$，则 $\frac{m}{n}$ 的值为______.