如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = BC = 2$，$AA_{1} = 1$，则 $BC_{1}$ 与平面 $BB_{1}D_{1}D$ 所成角的正弦值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 建立直角坐标系，令 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，并令竖直方向为 $z$ 轴，则 $C_1(2,2,1)$，所以直线 $BC_1$ 的方向向量可取 $\boldsymbol{v}=(0,2,1)$.

平面 $BB_1D_1D$ 内有方向向量 $\overrightarrow{BB_1}=(0,0,1)$ 和 $\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)$，故其法向量可取 $\boldsymbol{n}=(1,1,0)$. 直线与平面所成角记为 $\theta$，则 故选 D. \end{solution}

双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点为 $F_1$，$F_2$，若 $P$ 为其上一点，且 $|PF_1| = 2|PF_2|$，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 设 $d_1=|PF_1|$，$d_2=|PF_2|$. 题设给出 $d_1=2d_2$. 双曲线的焦点距离为 $F_1F_2=2c$，且双曲线上任一点满足焦点距离之差的绝对值为 $2a$，于是 从而 $d_2=2a$，$d_1=4a$. 在三角形 $PF_1F_2$ 中，三角不等式给出 $2c\leqslant4a+2a$，所以离心率 $e=\frac{c}{a}\leqslant3$. 又因 $b>0$，有 $c^2=a^2+b^2>a^2$，故 $e>1$.

当 $1<e<3$ 时，长度 $2c$，$4a$，$2a$ 能构成非退化三角形，因两焦点距离之差为 $2a$，所构成的点在该双曲线上；当 $e=3$ 时，取顶点可得焦点距离分别为 $4a$，$2a$，条件仍成立. 因此 $e\in(1,3]$，选 B. \end{solution}

已知函数 $y = f(x)$，$y = g(x)$ 的导函数的图象如下图，那么 $y = f(x)$，$y = g(x)$ 的图象可能是（ ）

\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由导函数图象可见，在 $x_0$ 左侧有 $f'(x)>g'(x)$，在 $x_0$ 右侧有 $f'(x)<g'(x)$，且 $f'(x)$ 递减、$g'(x)$ 递增. 因此 $f(x)-g(x)$ 先增后减，在 $x_0$ 处取得极大值；同时 $f$ 的图象应向下弯，$g$ 的图象应向上弯. 四个选项中只有 D 的相对位置和弯曲方向同时满足这些条件，故选 D. \end{solution}

已知向量 $\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)$，$\boldsymbol{n} = (\sqrt{3}, -1)$，$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1$，且 $A$ 为锐角.

(1) 求角 $A$ 的大小； (2) 求函数 $f(x) = \cos 2x + 4 \cos A \sin x$（$x \in \mathbf{R}$）的值域.

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，侧面 $PAD \perp$ 底面 $ABCD$，侧棱 $PA = PD = \sqrt{2}$，底面 $ABCD$ 为直角梯形，其中 $BC \parallel AD$，$AB \perp AD$，$AD = 2AB = 2BC = 2$，$O$ 为 $AD$ 中点.

(1) 求证： $PO \perp$ 平面 $ABCD$； (2) 求异面直线 $PD$ 与 $CD$ 所成角的大小； (3) 线段 $AD$ 上是否存在点 $Q$，使得它到平面 $PCD$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 若存在，求出 $\frac{AQ}{QD}$ 的值. 若不存在，请说明理由.