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06三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=3sin⁡(2x−π3)f(x) = 3\sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) 的图象为 CC，
① 图象 CC 关于直线 x=11π12x = \frac{11\pi}{12} 对称； ② 函数 f(x)f(x) 在区间 (−π12,5π12)\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\right) 内是增函数； ③ 由 y=3sin⁡2xy = 3\sin 2x 的图象向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度可以得到图象 CC.
以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2007 · 安徽 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
如果点 PP 在平面区域
{2x−y+2⩾0,x−2y+1⩽0,x+y−2⩽0\begin{cases} 2x - y + 2 \geqslant 0,\\ x - 2y + 1 \leqslant 0,\\ x + y - 2 \leqslant 0 \end{cases}
上，点 QQ 在曲线 x2+(y+2)2=1x^{2} + (y + 2)^{2} = 1 上，那么 ∣PQ∣|PQ| 的最小值为（ ）
A.
5−1\sqrt{5} - 1
B.
45−1\frac{4}{\sqrt{5}} - 1
C.
22−12\sqrt{2} - 1
D.
2−1\sqrt{2} - 1

2007 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
半径为 1 的球面上的四点 AA，BB，CC，DD 是正四面体的顶点，则 AA 与 BB 两点间的球面距离为（ ）
A.
arccos⁡(−33)\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
B.
arccos⁡(−63)\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)
C.
arccos⁡(−13)\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)
D.
arccos⁡(−14)\arccos \left(-\frac{1}{4}\right)

2007 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
如图，F1F_{1} 和 F2F_{2} 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点，AA 和 BB 是以 OO 为圆心，以 ∣OF1∣|OF_{1}| 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 △F2AB\triangle F_{2}AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
5\sqrt{5}
C.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
D.
1+31 + \sqrt{3}

2007 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 既是奇函数，又是周期函数，TT 是它的一个正周期. 若将方程 f(x)=0f(x) = 0 在闭区间 [−T,T][-T, T] 上的根个数记为 nn，则 nn 可能为（ ）
A.
0
B.
1
C.
3
D.
5

2007 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (2x3+1x)n\left(2x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n} 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 nn 等于______.

2007 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
如图，抛物线 y=−x2+1y = -x^{2} + 1 与 xx 轴的正半轴交于点 AA，将线段 OAOA 的 nn 等分点从左至右依次记为 P1P_{1}，P2P_{2}，⋯\cdots，Pn−1P_{n-1}，过这些分点分别作 xx 轴的垂线，与抛物线 CC 的交点依次为 Q1Q_{1}，Q2Q_{2}，⋯\cdots，Qn−1Q_{n-1}，从而得到 n−1n - 1 个直角三角形 △Q1OP1\triangle Q_{1}OP_{1}，△Q2P1P2\triangle Q_{2}P_{1}P_{2}，⋯\cdots，△Qn−1Pn−2Pn−1\triangle Q_{n-1}P_{n-2}P_{n-1}. 当 n→∞n \to \infty 时，这些三角形的面积之和的极限为______.

2007 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知 0<α<π40 < \alpha < \frac{\pi}{4}，β\beta 为 f(x)=cos⁡(2x+π8)f(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{8}\right) 的最小正周期，a=(tan⁡(α+14β),−1)\boldsymbol{a} = \left(\tan \left(\alpha + \frac{1}{4}\beta\right), -1\right)，b=(cos⁡α,2)\boldsymbol{b} = (\cos \alpha, 2)，且 a⋅b=m\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = m. 求 2cos⁡2α+sin⁡2(α+β)cos⁡α−sin⁡α\frac{2\cos^2\alpha + \sin 2(\alpha + \beta)}{\cos \alpha - \sin \alpha} 的值.

2007 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，四边形 ABCDABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是边长为 1 的正方形，DD1⊥DD_{1} \perp 平面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，DD1⊥DD_{1} \perp 平面 ABCDABCD，DD1=2DD_{1} = 2.
(1) 求证：A1C1A_{1}C_{1} 与 ACAC 共面，B1D1B_{1}D_{1} 与 BDBD 共面. (2) 求证：平面 A1ACC1⊥A_{1}ACC_{1} \perp 平面 B1BDD1B_{1}BDD_{1}. (3) 求二面角 A−BB1−CA - BB_{1} - C 的大小.（用反三角函数值表示）

2007 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 a⩾0a \geqslant 0，f(x)=x−1−ln⁡2x+2aln⁡xf(x) = x - 1 - \ln^2 x + 2a \ln x（x>0x > 0）.
(1) 令 F(x)=xf′(x)F(x) = xf'(x)，讨论 F(x)F(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的单调性并求极值. (2) 求证：当 x>1x > 1 时，恒有 x>ln⁡2x−2aln⁡x+1x > \ln^{2} x - 2a \ln x + 1.

2007 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★☆☆
如图，曲线 GG 的方程为 y2=2xy^{2} = 2x（y⩾0y \geqslant 0）. 以原点为圆心，以 tt（t>0t > 0）为半径的圆分别与曲线 GG 和 yy 轴的正半轴相交于点 AA 与点 BB. 直线 ABAB 与 xx 轴相交于点 CC.
(1) 求点 AA 的横坐标 aa 与点 CC 的横坐标 cc 的关系式. (2) 设曲线 GG 上点 DD 的横坐标为 a+2a + 2，求证：直线 CDCD 的斜率为定值.

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